一个关于2016 IYPT No2 Lagging Pendulum的高中生解法

虽然不敢确定这不是正确的解法，但好歹是自己想出来，一个很简单的思路，用到了高中学的牛顿运动定律。

问题重述

Pendulum consists of a strong thread and a bob. When the pivot of the pendulum starts moving along a horizontal circumference, the bob starts tracing a circle which can have a smaller radius, under certain conditions. Investigate the motion and stable trajectories of the bob.

理想物理模型

图片
 以重物为研究对象进行受力分析
 $$T\sin \theta =\frac{m{{v}^{2}}}{r} $$
 $$T\cos \theta =mg$$
 $$v = \omega t $$
 综合上式，得
 $$\frac{g}{con\theta }=\frac{{{\omega }^{2}}r}{sin\theta }$$

而且，由二者的物理连接关系，有
 $$\frac{R}{sin\theta}+\frac{r}{sin\theta}=l$$
 所以模型的约束条件为

可计算得到重物的运动半径r及夹角$\theta $。此时，重物及悬挂点组成的系统的运动状态就可确定。

枢轴点（pivot）的运动方程
 mathjax
 \begin{align}
 & x_0=R\cos (\omega t) \\
 & y_0=R\sin (\omega t) \\
 & z_0=8 \\
 \end{align}

重物（bob）的运动方程

Matlab仿真

绘图程序 

clear
clc

global R;R=10;                       %驱动点运动半径
global omega;omega=pi/3;             %驱动点运动半径
global l;l=15;
global m;m=0.05;
global g;g=9.8;
t=linspace(0,100,1001);
j=0;

figure
title('The diagram of Lagging Pendulum');
axis([-20 20 -20 20 -7 10]);
grid on
hold on
plot3([0;0],[0;0],[10;-7],'k-.')
pause

for k=0:0.5:10
    R=10+k;
    j=j+11;
    x0=[0.1;0.1];
    options = optimoptions('fsolve','Display','iter'); 
    [x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options);
    r=x(1)
    theta=x(2)
    th=theta./(2*pi).*180

    x0=R.*sin(omega.*t);
    y0=R.*cos(omega.*t);
    z0=0.*t+8;

    x1=r.*sin(omega.*t+pi);
    y1=r.*cos(omega.*t+pi);
    z1=z0-l*sin(theta)+0.*t;


    h12=plot3([x0(1);x1(1)],[y0(1);y1(1)],[y0(1);y1(1)],'b-o','LineWidth',1.5);%画杆并取句柄
    
    
    for i=j:j+10
        set(h12,'XData',[x0(i);x1(i)],'YData',[y0(i);y1(i)],'Zdata',[z0(i);z1(i)]);
        plot3([x0(i);x0(i+1)],[y0(i);y0(i+1)],[z0(i);z0(i+1)],'g')
        plot3([x1(i);x1(i+1)],[y1(i);y1(i+1)],[z1(i);z1(i+1)],'r')

        drawnow
    end
    
end

非线性方程求解程序myfun.m 

function F = myfun(x)
    
    global R;                                         
    global omega;               
    global l;
    global m;
    global g;
    F = [g/cos(x(2))-omega*omega*x(1)/sin(x(2));R/sin(x(2))+x(1)/sin(x(2))-l];

运行结果

Exp by Arduino + Motor

基于这个模型，边界条件可以很粗暴将$R=r$代入上述约束条件，计算机跑一下可得想要临界速度$\omega$ 。

End